Математическая модель оптимизации периода стойкости инструмента
Одним из примеров применения моделей оптимизации может служить задача оптимизации периода стойкости металлорежущего инструмента. В данном случае целевой функцией является суммарный период стойкости инструмента
, являющийся функцией геометрических параметров инструмента, элементов режима резания и периода стойкости между переточками. Задача заключается в определении величин технологических параметров (например, периода стойкости между переточками
), доставляющих максимум целевой функции при наложении на величины входных параметров ограничений, определяемых их физической природой. Постановка и традиционный метод решения задачи оптимизации суммарного периода стойкости приведены в литературе [2, С.179-182; 26, С.101-105; 35, С.98-107]. На рисунке 5.1 приведена схема износа режущего инструмента и типовая кривая износа при износе инструмента по передней и задней поверхности.
а б
Рис 5.1. Схема износа металлорежущего инструмента вдоль лезвий и общий вид кривой износа
Задача оптимизации суммарного периода стойкости заключается в определении оптимального износа по задней поверхности
и соответствующего ему периода стойкости
. Введем понятие оптимального износа.
Определение 5.5
Оптимальный износ - величина линейного износа задней поверхности металлорежущего инструмента, при использовании которой в качестве критерия износа суммарный период стойкости инструмента достигает максимальной величины.
Рис 5.2. Кривая износа режущего инструмента
и график зависимости
Суммарный период стойкости любого конкретного инструмента является функцией периода стойкости между переточками и определяется следующим образом:
, (5.1)
где
- число переточек,
- период стойкости (время резания инструментом между переточками).
В большинстве случаях вместо формулы (5.1) может быть использована приближенная формула (5.2), несколько упрощающая дальнейшие вычисления
(5.2)
Число переточек
, в свою очередь, также является функцией геометрических параметров инструмента и величины износа по задней поверхности
, которая используется в качестве критерия износа. На рисунке 5.3 изображена режущая часть резца или другого инструмента с линейным износом
. Чтобы инструмент стал вновь работоспособным, с задней поверхности при переточке должен быть сошлифован слой твердого сплава толщиной
. Толщина слоя
. (5.3)
Введем обозначения
, тогда
.
Рис 5.3. Схема к построению математической модели оптимизации
Дополнительный слой
включает допуск на заточку и слой твердого сплава, сошлифовываемый для удаления дефектов, образовывающихся под изношенной частью задней поверхности. Размер
, измеряемый по передней поверхности, называется допустимой величиной стачивания. Его величина обуславливается конструкцией инструмента. Тогда размер
слоя инструментального материала, перпендикулярный задней поверхности и соответствующий допустимой величине стачивания, равен
. В этом случае суммарный период стойкости в форме (5.2) выразится формулой
, или (5.4)
. (5.5)
Тогда математическая модель оптимизации в виде (4.2) будет выглядеть следующим образом:
или
, (5.6)
где
и
выражаются формулами (5.4) и (5.5) соответственно.
Для решения данной математической модели может быть использован любой из рассмотренных нами методов оптимизации. Так, например, при решении с использованием необходимых и достаточных условий экстремума и зависимости (5.5), требуется определить корни уравнения
. (5.7)
Так как период стойкости является функцией износа,
, производная будет равна
. (5.8)
Для дальнейшего аналитического решения необходимо знать вид и коэффициенты зависимости
. Зависимость, представленная кривой износа, изображенной на рисунках 5.1 и 5.2, может быть описана полиномом третьей степени вида
, (5.9)
При использовании в качестве эмпирической зависимости полинома в форме (5.9) решение задачи оптимизации приводит к поиску корней уравнения
, (5.10)
В случае если
>0, уравнение (5.10) имеет единственное решение в вещественной области. В случае если
принимается равным нулю, уравнение имеет два вещественных корня, один из которых равен нулю и, следовательно, находится вне области допустимых решений. Графики на рисунке 5.4 иллюстрируют нахождение корней уравнения (5.10).
Очевидно, значения
, найденные аналитически, должны быть приведены к ближайшей величине
, кратной машинному времени и обеспечивающей большее значение
. Как правило, значения
и
определяют точку на кривой износа, которая лежит на входе в участок катастрофического износа инструмента.
В случае если в распоряжении исследователя нет данных, необходимых для построения зависимости
, может быть использован график зависимости
, то есть кривая износа (см. рисунки 5.1 и 5.2).
Рис 5.4. Схема к определению корней уравнения
Метод оптимизации периода стойкости инструмента с использованием кривой износа обычно называют методом профессора Н.Н.Зорева.
Решение уравнения (5.7) приводит нас к уравнению
, которое может быть преобразовано к виду
или
. (5.11)
Рис 5.5. Схема к определению оптимального периода стойкости инструмента по методу Н.Н.Зорева
Исходя из анализа геометрического смысла производной, мы можем утверждать, что решению уравнения (5.11) будет соответствовать точка на кривой износа, в которой тангенс угла наклона касательной к графику функции
равен
. На рисунке 5.5 представлена схема, иллюстрирующая поиск значений
и
с использованием кривой износа. Очевидно, для того, чтобы с помощью графика зависимости
определить точку
, мы должны провести касательную к кривой износа из точки, лежащей ниже начала координат на величину
