Математическое моделирование процессов резания

Методы решения задач оптимизации


В случае, когда функция

Методы решения задач оптимизации
 и функции
Методы решения задач оптимизации
, задающие ограничения, являются дифференцируемыми (гладкими) для решения задач оптимизации может быть использовано понятие градиента. Поле градиента обычно определяется как векторное поле, которое характеризует скалярное поле в направлении его наискорейшего возрастания.

Определение 4.1

Для любой дифференцируемой функции

Методы решения задач оптимизации
 ее градиентом
Методы решения задач оптимизации
 в точке
Методы решения задач оптимизации
 называется вектор

                

Методы решения задач оптимизации
.            (4.4)

Возможности использования аналитических градиентных методов для решения задач оптимизации подробно рассматривались при изучении курса «Высшая математика» (см. также [5, С.216-220; 15, С.12-40; 18, С.265-276]). Отметим некоторые особенности, связанные с применением аналитических методов оптимизации:

1. Аналитические методы применимы лишь для оптимизации дифференцируемых (гладких) функций, то есть функций, имеющих частные производные по крайней мере до второго порядка включительно.

2.             Необходимые условия экстремума первого порядка [15, С.23] позволяют выделить лишь стационарные точки функции. Для определения точек экстремума требуется использование необходимых и достаточных условий второго порядка [15, С.24], что значительно увеличивает вычислительную сложность задачи.

3.             Аналитические методы, основанные на непосредственном использовании необходимых и достаточных условий экстремума, позволяют выделить лишь точки экстремума, лежащие внутри допустимой области

Методы решения задач оптимизации
 и не позволяют выделить экстремальные точки на границе
Методы решения задач оптимизации
. Для поиска точек экстремума, лежащих на границе
Методы решения задач оптимизации
, необходимо использовать метод множителей Лагранжа.

Алгоритм аналитической оптимизации функций на основании необходимых и достаточных условий экстремума состоит из следующих четырех шагов.

1.   Свести задачу к стандартной форме постановки оптимизационных задач.

2.   Используя необходимое условие экстремума первого порядка

Методы решения задач оптимизации
, определить стационарные точки.

3.   Используя достаточные условия экстремума второго порядка, определить, являются ли стационарные точки экстремальными. Если стационарные точки являются экстремальными, определить характер экстремума (максимум или минимум).

4.   Вычислить значения целевой функции в найденных точках локального экстремума нужного вида.



Содержание раздела






Главная сайта