Структурная идентификация математических моделей процесса резания
Задача построения моделей идентификации в общем случае включает в себя два основных этапа. Первый этап связан с определением структуры математической модели (структурная идентификация).
Определение 9.2
Структурной идентификацией математической модели мы будем называть процедуру определения общего вида функциональной зависимости, связывающей значения технологических параметров
Определение общего вида функциональных зависимостей, описывающих взаимосвязь входных и выходных переменных, по экспериментальным данным является чрезвычайно сложной задачей, принципиально не имеющей единственного решения. Во всех случаях предпочтительным является определение структуры модели на основе теоретических исследований в предметной области.
В случае если теоретическое определение структуры невозможно, одним из способов уменьшения сложности задачи является выбор вида (структуры) эмпирической функции из некоторого класса функций, обладающих хорошими аппроксимирующими свойствами. Наиболее часто для описания экспериментальных данных используются следующие зависимости.
1. Многомерные полиномиальные модели вида
где
Известно, что многомерной полиномиальной зависимостью может быть описан любой набор экспериментальных данных с любой заранее заданной степенью точности. Точность описания возрастает с повышением степени полинома. Частным случаем полиномиальных моделей являются двумерные полиномиальные зависимости (см. формулу (5.9))
Пример поверхности, описанной полиномиальной зависимостью, приведен на рисунке 9.1.
Рис 9.1. Примеры поверхностей, построенных на основе полиномиальных зависимостей третьей степени
2. Частным случаем полиномиальной зависимости при
Простейшим примером линейной формы является прямая - линейная форма в двумерном пространстве. Графики, приведенные на рисунке 9.2 иллюстрируют описание одних и тех же наборов экспериментальных данных различными эмпирическими зависимостями.
3. Мультипликативные (степенные) зависимости вида
Простейшим случаем мультипликативной модели является двумерная степенная функция
4. Компаунд-модель. Выражение для двумерного случая
5. Экспоненциальная модель. Выражение для двумерного случая
6. Модель роста. Выражение для двумерного случая
7. Обратная (инверсная) модель. Выражение для двумерного случая
8. Логарифмическая модель. Выражение для двумерного случая
Рис 9.2. Описание экспериментальных данных различными эмпирическими зависимостями (линейная и полиномиальные зависимости второй и третьей степени, описание по «минимуму отклонения»)
9. Логистическая модель. Выражение для двумерного случая
где
10. Модель S-кривой. Выражение для двумерного случая
Очевидно, каждая из приведенных двумерных функций является частным случаем многомерной зависимости. Выбор одной из множества эмпирических функций, использующихся для описания экспериментальных данных, производится исследователем либо на основе анализа физической сущности задачи (что предпочтительно), либо с помощью статистических критериев, позволяющих оценить, насколько полно та или иная модель описывает экспериментальные данные.
